Question

在△ABC中，三个内角是A，B，C的对边分别是a，b，c，其中c=10，且
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧AC上，∠PAB=60°，求四边形ABCP的面积．

Answer 1

解：（1）证明：根据正弦定理得， 
整理为：sinAcosA=sinBcosB，即2sinA=sin2B，
因为0＜A＜π，0＜B＜π，
所以0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，
所以A=B，或者A+B= 
由于 ，
故△ABC是直角三角形．
（2）由（1）可得：a=6，b=8．
在Rt△ABC中，sin∠CAB= = 
cos∠CAB=  sin∠PAC=sin（60°﹣∠CAB）
=sin60°cos∠CAB﹣cos60°sin∠CAB = 
连接PB，在Rt△APB中，AP=AB×cos∠PAB=5．
所以四边形ABCP的面积
S_{四边形△ABCP}=S_△ABC+S_△PAC
= 
=