题目内容
【题目】已知椭圆E：
的离心率是
，
，
分别为椭圆E的左右顶点，B为上顶点，
的面积为
直线l过点
且与椭圆E交于P，Q两点．
求椭圆E的标准方程；
求
面积的最大值；
设直线
与直线
交于点N，证明：点N在定直线上，并写出该直线方程．
【答案】（1）
（2）
（3）见证明
【解析】
根据离心率和三角形的面积即可求出
，
，
分两种情况，当PQ斜率不存在时，
，当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为
，
，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、，函数的性质，结合已知条件能求出
的面积的最大值．
分两种情况，PQ斜率不存在时，易知
，当直线PQ的斜率存在时，直线
的方程为
，直线
的方程为
，即可整理化简可得
，解得即可．
解：由题意知
，
，即
，
的面积为2，
，
解得，，
椭圆C的标准方程为，
斜率不存在时，易知
，
，此时，
当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为，，
设
，
，
将代入，整理可得
，
，
，
，
，
令
，
，
，
故面积的最大值
证明
斜率不存在时，易知，
当直线PQ的斜率存在时，直线的方程为，直线的方程为，
，
，
解得
，即N点的横坐标为4，
综上所述，点N在定直线上．
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