Question

已知函数f(x)=loga[

x

-(2a)x]对任意x∈[

1

2

，+∞）都有意义，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（0，

  1

  4

  ]
• B、（0，

  1

  4

  ）
• C、[

  1

  4

  ，1）
• D、（

  1

  4

  ，

  1

  2

  ）

Answer 1

分析：使f(x)=loga[

x

-(2a)x]对任意x∈[

1

2

，+∞）都有意义，转化为对任意x∈[

1

2

，+∞），有

x

＞(2a)x恒成立，则需0＜2a＜1，作出函数g（x）=（2a）^x，h（x）=

x

的图象，数形结合得答案．

解答：解：要使f(x)=loga[

x

-(2a)x]对任意x∈[

1

2

，+∞）都有意义，
则对任意x∈[

1

2

，+∞），有

x

＞(2a)x恒成立，
显然0＜2a＜1，否则，在x∈[

1

2

，+∞）时，一定存在x=x₀，当x＞x₀时，有

x

＜(2a)x．
令g（x）=（2a）^x，h（x）=

x

，
如图：

由图可知，在x=

1

2

处的函数g（x）=（2a）^x的值小于h（x）=

x

的值，
∴

2a

＜

2

2

，
∴a＜

1

4

．
又a＞0且a≠1．
∴0＜a＜

1

4

．
则实数a的取值范围是(0，

1

4

)．
故选：B．

点评：本题考查了对数函数的定义域，考查了数学转化思想方法，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．