Question

关于函数f(x)=lg

1-x

1+x

，有下列三个命题：
①对于任意x∈（-1，1），都有f（-x）=-f（x）；
②f（x）在（-1，1）上是减函数；
③对于任意x₁，x₂∈（-1，1），都有f(x1)+f(x2)=f(

x1+x2

1+x1x2

)；
其中正确命题的个数是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：当x∈（-1，1）时，函数f(x)=lg

1-x

1+x

恒有意义，代入计算f（-x）+f（x）可判断①；利用分析法，结合反比例函数及对数函数的单调性和复合函数“同增异减”的原则，可判断②；代入分别计算f（x₁）+f（x₂）和f(

x1+x2

1+x1x2

)，比照后可判断③．

解答：解：∵f(x)=lg

1-x

1+x

，当x∈（-1，1）时，
f（-x）+f（x）=lg

1+x

1-x

+lg

1-x

1+x

=lg(

1+x

1-x

•

1-x

1+x

)=lg1=0，故f（-x）=-f（x），即①正确；
f(x)=lg

1-x

1+x

=lg(

2

1+x

-1)，由y=

2

1+x

-1在（-1，1）上是减函数，故f（x）在（-1，1）上是减函数，即②正确；
f（x₁）+f（x₂）=lg

1-x1

1+x1

+lg

1-x2

1+x2

=lg(

1-x1

1+x1

•

1-x2

1+x2

)=lg

1+x1x2-x1-x2

1+x1x2+x1+x2

；f(

x1+x2

1+x1x2

)=lg

1- x1+x2 1+x1x2

1+ x1+x2 1+x1x2

=lg

1+x1x2-x1-x2

1+x1x2+x1+x2

，即③正确
故三个结论中正确的命题有3个
故选D

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了函数求值，复合函数的单调性，对数的运算性质等知识点，难度中档．