Question

函数y=log_a（x-2）+2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，且点A在曲线y²=mx+n上，其中m，n＞0，则

4

m

+

3

n

的最小值为

27

4

．

Answer 1

分析：由对数函数的性质可得函数y=log_a（x-2）+2恒过定点A（3，2）及点A在曲线y²=mx+n上可得2m+n=4，m＞0，n＞0，而

4

m

+

3

n

=(

4

m

+

3

n

)(3m+ n)×

1

4

，利用基本不等式可求最小值．

解答：解：由对数函数的性质可得函数y=log_a（x-2）+2恒过定点A（3，2）
∵点A在曲线y²=mx+n上，
∴3m+n=4，m＞0，n＞0
∴

4

m

+

3

n

=(

4

m

+

3

n

)(3m+ n)×

1

4

=

1

4

（15+

4n

m

+

9m

n

）≥

15

4

+

1

4

×2

4n m • 9m n

=

27

4

，
当且仅当

4n

m

=

9m

n

取等号，
故答案为：

27

4

点评：本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是要对所求的式子进行配凑成符合基本不等式的条件即是进行了1的代换．