Question

甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛，采用五局三胜制．若每一局比赛甲获胜的概率为

2

3

，乙获胜的概率为

1

3

．现已完成一局比赛，乙暂时以1：0领先．
（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（2）设比赛结束时比赛的局数为X，求随机变量X的概率分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）甲获得这次比赛胜利，包括甲以3：1获胜和甲以3：2获胜，而前两种情况是互斥的，根据独立重复试验公式和互斥事件的概率公式，列出算式，得到结果．
（2）比赛结束时比赛的局数为X，则X的可能取值是3、4、5，当X=3时，乙获得比赛胜利，当X=4时，甲和乙都有可能胜利，包括甲第2、3、4局都胜，或是乙，第2、3局胜一局，第4局一定胜，当X=5时，乙胜的具体情况为：第一场乙胜，后面三场里只有一场胜，有两场输，最后一场胜．

解答：解：（1）设甲获胜为事件A，则甲获胜包括甲以3：1获胜（记为事件A₁）和甲以3：2获胜（记为事件A₂），且事件A₁，A₂为互斥事件，
∴P（A）=P（A₁+A₂）=P（A₁）+P（A₂）=(

2

3

)3+

C

2 3

(

2

3

)2×

1

3

×

2

3

=

8

27

+

8

27

=

16

27

．
答：甲获得这次比赛胜利的概率为

16

27

．
（2）随机变量X的所有可能取值为3，4，5，
随机变量的分布列为
P（X=3）=(

1

3

)2=

1

9

，
P（X=4）=

8

27

+

C

1 2

×

1

3

×

2

3

×

1

3

=

4

9

，
P（X=5）=

8

27

+

C

1 3

×

2

3

×(

1

3

)2×

1

3

=

4

9

．
∴随机变量X的数学期望为E（X）=3×

1

9

+4×

4

9

+5×

4

9

=

13

3

．

点评：本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识．