Question

已知函数f（x）=ln（2+3x）-

3

2

x²
（I）求f（x）在[0，1]上的极值；
（II）若关于x的方程f（x）=-2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

（I）f′(x)=

3

2+3x

-3x=

-3(x+1)(3x-1)

3x+2

，
令f'（x）=0得x=

1

3

或x=-1（舍去）∴当0≤x≤

1

3

时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当

1

3

＜x≤1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．∴f(

1

3

) =ln3-

1

6

为函数f（x）在[0，1]上的极大值
（II）由f（x）=-2x+b?ln（2+3x）-

3

2

x2+2x-b=0
令φ(x)=ln(2+3x)-

3

2

x2+2x-b，则，φ′(x)=

3

2+3x

-3x+2=

7-9x2

2+3x

，
当x∈[0，

7

3

]时，φ'（x）＞0，于是φ（x）在[0，

7

3

]上递增；
当x∈[

7

3

，1]时，φ'（x）＜0，于是φ（x）在[

7

3

，1]上递减，而φ(

7

3

)＞φ(0)，φ(

7

3

)＞φ(1)，
∴f（x）=-2x+b，即φ（x）=0在[0，1]恰有两个不同实根等价于

φ(0)=ln2-b≤0 φ( 7 3 )=ln(2+ 7 )- 7 6 + 2 7 3 -b＞0 φ(1)=ln5+ 1 2 -b≤0

∴ln5+

1

2

≤b小于ln（2+

7

）-

7

6

+

2 7

3

．