Question

如图，三棱柱中，⊥面，，

，为的中点.

    （Ⅰ）求证：；

　  （Ⅱ）求二面角的余弦值；

    （Ⅲ）在侧棱上是否存在点，使得

？请证明你的结论.

 

Answer 1

【答案】

见解析.

【解析】第一问中，利用线面平行的判定定理可以得到OD∥B₁A，又B₁A⊄平面BDC₁，OD⊆平面BDC₁

∴B₁A∥面BDC₁

；第二问中，利用建立空间直角坐标系可以设出法向量，利用法向量的夹角求解二面角的平面角的方法得到。

第三问中，利用假设成立，推出不符合线面垂直的情况，得到一个矛盾，进而得到结论。

（1）证明：连接B1C，交BC₁于点O，

则O为B1C的中点，

∵D为AC中点，

∴OD∥B₁A，

又B₁A⊄平面BDC₁，OD⊆平面BDC₁

∴B₁A∥面BDC1（4分）

（2）解：∵AA₁⊥平面ABC，BC⊥AC，AA₁∥CC₁，

∴CC₁⊥面ABC，

则BC⊥平面AC₁，CC₁⊥AC

如图建系，则C₁（3，0，0），B（0，0，2），D（0，1，0），C（0，0，0）

∴ C₁D =（-3，1，0）， C₁B =（-3，0，2）

设平面C₁DB的法向量为n=（x，y，z）

则n=（2，6，3）

又平面BDC的法向量为 CC₁ =（3，0，0）

∴二面角C₁-BD-C的余弦值：cos＜ CC₁ ，n＞= (CC₁ .n)/ | CC₁ |，|n| =2/ 7

（3）不存在

（III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1．

则  CP • C₁B =0  CP • C₁D =0   ，

即 3(y-3)=0

   2+3(y-3)=0  ∴方程组无解．∴假设不成立．

∴侧棱AA₁上不存在点P，使CP⊥面BDC₁．（14分）