Question

11．已知抛物线x²=2py（p＞0）与直线3x-2y+1=0交于A，B两点，$|{AB}|=\frac{5}{8}\sqrt{13}$，点M在抛物线上，MA⊥MB．
（Ⅰ） 求p的值；
（Ⅱ） 求点M的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系得到A，B两点横坐标的和与积，由弦长公式求得p的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出A，B的坐标，设出M的坐标，利用MA⊥MB得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，代入根与系数的关系求得答案．

解答 解：（Ⅰ）联立$\left\{\begin{array}{l}{3x-2y+1=0}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，得x²-3px-p=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=3p，x₁x₂=-p，
由$|AB|=\sqrt{1+（\frac{3}{2}）^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}\sqrt{9{p}^{2}+4p}=\frac{5}{8}\sqrt{13}$，解得$p=\frac{1}{4}$；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得A（1，2），$B（-\frac{1}{4}，\frac{1}{8}）$．
设点M（x₀，y₀），由MA⊥MB得，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=0$，
即$（{x_0}-1）（{x_0}+\frac{1}{4}）+（{y_0}-2）（{y_0}-\frac{1}{8}）=0$，
将${y_0}=2x_0^2$代入得：$（{x_0}-1）（{x_0}+\frac{1}{4}）+4（{x_0}-1）（{x_0}+1）（{x_0}+\frac{1}{4}）（{x_0}-\frac{1}{4}）=0$，
又x₀≠1且${x_0}≠-\frac{1}{4}$，得$1+4（{x_0}+1）（{x_0}-\frac{1}{4}）=0$，
解得x₀=0或${x_0}=-\frac{3}{4}$，
∴点M的坐标为（0，0）或$（-\frac{3}{4}，\frac{9}{8}）$．

点评 本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，是中档题．