Question

已知f（x）=ax³+bx+c图象过点(0，-

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)，且在x=1处的切线方程是y=-3x-1．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）首先由图象过点(0，-

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)求出c的值，代入函数解析式后求导数，由在x=1处的切线方程是y=-3x-1得到f'（1）=3a（1）²+b=-3，切点在f（x）上得到关于a，b的另一方程，联立方程组求得a，b的值，则函数解析式可求；
（2）利用导数求函数（-3，3）上的极值，和端点值比较后得最值．

解答：解：（1）由f(0)=-

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⇒c=-

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，
∴f（x）=ax³+bx-

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．则
f'（x）=3ax²+b，∴f'（1）=3a（1）²+b，∴3a+b=-3，
又∵切点为（1，-4），∴f(1)=a+b-

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=-4，
联立可得a=

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，b=-4．
∴f(x)=

1

3

x3-4x-

1

3

；
（2）由f(x)=

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3

x3-4x-

1

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⇒f'（x）=x²-4，
令f'（x）=0⇒x²-4=0⇒x=±2，
令f'（x）＞0⇒x²-4＞0⇒x＜-2或x＞2，
令f'（x）＜0⇒x²-4＜0⇒-2＜x＜2，

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	8 3	↗	5	↘	- 17 3	↗	- 10 3

由上表知，在区间[-3，3]上，当x=-2时，y_max=f（-2）=5，
当x=2时，ymin=f(2)=-

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．

点评：本题考查了利用导数求函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．训练了利用导数研究曲线上某点处的切线方程．
是有一定难度题目．