Question

，定义，其中n∈N*.
（Ⅰ）求的值，并求证：数列｛a_n｝是等比数列；
（II）若，其中n∈N*，试比较9与大小，并说明理由.

Answer 1

（1），
数列｛a_n｝是首项为，公比为的等比数列。  （2）9>.

本试题主要是考查了数列的求和和数列的通项公式的 运用。证明数列是否为等比数列以及关于数列的单调性的运用。比较大小。
（1）对n赋值得到前两项，然后发现规律得到
，从而证明等比数列
（2）由(1)知，然后利用分组求和得到前n项和的结论，并利用作差法比较大小。
证明：（1）＝2，，

，
∴
∴，∴数列｛a_n｝是首项为，公比为的等比数列。
（2）由(1)知


两式相减得： 
，又
当n=1时，9＜；
当n=2时，9＜；
当n≥3时，2²ⁿ=[(1+1)ⁿ]²=()²>(2n+1)²,∴9>.