Question

已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.

(1)解关于x的不等式f(x)＋a－1>0(a∈R)；

(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求m的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）(－∞，a＋1)∪(3－a，＋∞)；（2）(－∞，5).

【解析】

试题分析：(1)本题是一个含参不等式的求解，需要按a＝1，a>1，a<1进行讨论；（2）f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即为|x－2|>－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，分离参数为|x－2|＋|x＋3|>m恒成立．

所以对任意实数x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，于是得m<5.

试题解析：(1)不等式f(x)＋a－1>0，

即|x－2|＋a－1>0，

当a＝1时，解集为x≠2，即(－∞，2)∪(2，＋∞)；

当a>1时，解集为全体实数R；

当a<1时，∵|x－2|>1－a，∴x－2>1－a或x－2<a－1，∴x>3－a或x<a＋1，

故解集为(－∞，a＋1)∪(3－a，＋∞)．

(2)f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即为|x－2|>－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，即|x－2|＋|x＋3|>m恒成立．

又对任意实数x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，于是得m<5，

即m的取值范围是(－∞，5)．

考点：1.含参不等式的求解；2.不等式恒成立问题.