Question

【题目】已知F为抛物线的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点.当直线与x轴垂直时，.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若直线AB与抛物线的准线l相交于点M，在抛物线C上是否存在点P，使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；

【解析】

（1）求出抛物线的焦点坐标，根据题意，令，求出纵坐标的值，再根据进行求解即可；

（2）设直线的方程,与抛物线方程联立，求出直线PA，PM，PB的斜率表达式，结合等差数列和一元二次方程根与系数关系，得到一个等式，根据等式成立进行求解即可.

解：（1）因为，在抛物线方程中，令，可得，

所以当直线与轴垂直时，解得，

抛物线的方程为.

（2）不妨设直线的方程为，

因为抛物线的准线方程为，所以.

联立消去，得，

设，，则，，

若存在定点满足条件，则，

即，

因为点均在抛物线上，所以.

代入化简可得，

将，代入整理可得

，即，

因为上式对恒成立，所以，解得，

将代入抛物线方程，可得，

于是点即为满足题意的定点.