题目内容

已知函数f(x)=2sin(
1
3
x-
π
6
)，x∈R．
（1）求f(
5π
4
)的值；
（2）设α，β∈[0，
π
2
]，f(3α+
π
2
)=
10
13
，f(3β+2π)=
6
5
，求cos
α+β
2
的值．
分析：（1）把
5π
4
代入f（x）即可得出；
（2）把3α+
π
2
，3β+2π分别代入f（x）化简整理再利用平方关系，再利用两角和的余弦公式、倍角公式即可得出．
解答：解：（1）f(
5π
4
)=2sin(
1
3
×
5π
4
-
π
6
)=2sin
π
4
=
2
．
（2）f(3α+
π
2
)=2sin[
1
3
(3α+
π
2
)-
π
6
]=2sinα=
10
13
，∴sinα=
5
13
．∵α∈[0，
π
2
]，∴cosα=
12
13
．
f(3β+2π)=2sin[
1
3
(3β+2π)-
π
6
]=2sin(β+
π
2
)=2cosβ=
6
5
，解得cosβ=
3
5
．∵β∈[0，
π
2
]，∴sinβ=
4
5
．
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=
12
13
×
3
5
-
5
13
×
4
5
=
16
65
．
∵α，β∈[0，
π
2
]，∴
α+β
2
∈[0，
π
2
]，∴cos
α+β
2
＞0，
∴cos
α+β
2
=
cos(α+β)+1
2
=
9
130
130
．
点评：本题综合考查了三角函数的平方关系、两角和的余弦公式、倍角公式等基础知识与基本方法，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函数f（x）的对称中心；
（2）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数；
（3）是否存在负数x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，请说明理由．
已知函数f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，则f[f（-2）]=
3
3
．
已知函数f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函数f（x）的值域和最小正周期；
（2）当x∈[0，2π]时，求使f(x)=
3
成立的x的值．
已知函数f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的图象过点（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求证：f（x）在其定义域上有且只有一个零点；
（3）若f（x）+mx＞1对一切的正实数x均成立，求实数m的取值范围．
已知函数f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，则当x=
4π
3
4π
3
时，函数f（x）有最大值，最大值为
2
3
2
3
．

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