Question

如下图所示，过定点A（m,0）(m＜0＝作一直线l交抛物线C：y²=2px(p＞0)于P、Q两点，又Q关于x轴对称点为Q₁，连结PQ₁交x轴于B点.

（1）求证：直线PQ₁恒过一定点；

（2）若,求证.

Answer 1

解：（1）设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)，而Q₁与Q关于x轴对称，则Q(x₂,-y₂)，

PQ直线方程为y-y₁=k_PQ(x-x₁),其中k_PQ=，

则PQ:y=.同理PQ:y=.

又PQ过点(m,0),则0=于是y₁y_2=-2pm.因此可知PQ₁直线方程可改写为y=,因此可知PQ直线恒过点(-m,0).

（2）连结AQ,因为Q与Q₁关于x轴对称,A在x轴上,

所以在△APQ₁中,AB平分∠PAQ₁,由角平分线定理可知,而=,

,同向, ∴＞0. ∴于是|PB|=|BQ₁|,而又B,P,Q₁三点共线,同向,＞0.于是.