Question

直线y=1-x交抛物线y²=2px（p＞0）于M，N两点，向量

OM

+

ON

与弦MN交于点E，若E点的横坐标为

3

2

，则p的值为（　　）

• A．2
• B．1
• C．

  1

  4

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：由

y=1-x y2=2px(p＞0)

⇒x²-（2+2p）x+1=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），x₁，x₂是方程x²-（2+2p）x+1=0的两根，由

OM

+

ON

=（x₁+x₂，y₁+y₂），E点的横坐标为

3

2

可求得

x1+x2

2

=

3

2

，利用韦达定理即可求得p的值．

解答：解：∵直线y=1-x交抛物线y²=2px（p＞0）于M，N两点，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

y=1-x y2=2px(p＞0)

得x²-（2+2p）x+1=0，则x₁，x₂是方程x²-（2+2p）x+1=0的两根，
由韦达定理得：x₁+x₂=2+2p①；
又∵向量

OM

+

ON

与弦MN交于点E，
∴

OM

+

ON

=2

OE

，而

OM

+

ON

=（x₁+x₂，y₁+y₂），E点的横坐标为

3

2

，
∴

x1+x2

2

=

3

2

，即x₁+x₂=3②
由①②得：2+2p=3，解得p=

1

2

．
故选D．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，解决的关键在于联立方程，利用韦达定理，与条件“向量

OM

+

ON

与弦MN交于点E，若E点的横坐标为

3

2

”结合来解决问题，属于难题．