Question

函数f（x）=log_ax的自变量与函数值的一组近似值为

x	2	3	4	5
y	0.3010	0.4771	0.6020	0.6990

（1）写出f（x）的解析式．
（2）若A，B是y=f（x）图象上两点，其横坐标分别为a和a+4，直线l：x=a+2与y=f（x）的图象交于点C，与直线AB交于D．求D的坐标和当△ABC面积大于lg2时a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由表中数据代入可得a的值
（2）先画出函数图象，由对数函数图象性质及梯形性质，即可得D点坐标，最后利用梯形面积公式计算△ABC面积，由面积大于lg2解不等式即可得a的范围

解答：解：（1）∵lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg4=2lg2≈0.6020
∴a=10
∴f（x）=lgx
（2）如图：E、F、G分别为（a，0），（a+2，0），（a+4，0），且F恰为EG中点
在直角梯形AEGB中，FD=

AE+GB

2

=

lga+lg(a+4)

2

=lg

a(a+4)

∴D的坐标为（a+2，lg

a(a+4)

）
∵S_△ABC=S_梯形AEFC+S_梯形CFGB-S_梯形AEFD-S_梯形DFGB
=

1

2

[lga+lg（a+2）]×2+

1

2

[lg（a+2）+lg（a+4）]×2-

1

2

[lga+lg

a(a+4)

]×2-

1

2

[lg

a(a+4)

+lg（a+4）]×2
=lg[a（a+2）]+lg[（a+2）（a+4）]-lg[a（

a(a+4)

）]-lg[（a+4）

a(a+4)

]
=lg

a×(a+2)2×(a+4)

a×(a+4)×a×(a+4)

=lg

(a+2)2

a×(a+4)

由lg

(a+2)2

a×(a+4)

＞lg2
得

(a+2)2

a×(a+4)

＞2
解得a＞0

点评：本题考查了对数函数的图象和性质，对数运算性质，数形结合的思想方法