Question

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，三边长a、b、c成等比数列．
（I）若∠B=

π

3

，求证△ABC为正三角形；  
（II）若∠B=

π

6

，求sin(2A+

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（I）由a，b及c成等比数列，利用等比数列的性质得到关于a，b及c的关系式，然后再利用余弦定理表示出cosB，把得到的关系式及cosB的值代入，化简整理后得到a=c，即三角形ABC为等腰三角形，再加上B为

π

3

，即可得到三角形ABC为等边三角形；
（II）由B的度数，利用三角形的内角和定理得到A+C的度数，用B表示出A，再利用正弦定理化简第一问得到的关系式b²=ac，把B的度数及表示出的A代入，利用特殊角的三角形函数值及两角和与差的正弦函数公式化简，接着再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，最后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，即可得到sin（2A+

π

3

）的值．

解答：解：（I）由a、b、c成等比数列可得b²=ac，（2分）
若∠B=

π

3

，由余弦定理cosB=

a2+c2-b2

2ac

，
可得

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

=cos

π

3

=

1

2

，（3分）
即（a-c）²=0，所以a=c，又∠B=

π

3

，
故△ABC为正三角形；（5分）
（II）由b²=ac及正弦定理可得：sin²B=sinAsinC，（7分）
当∠B=

π

6

时，可得sin2

π

6

=sinAsin(

5π

6

-A)，
即

1

4

=sinAsin(

5π

6

-A)=sinA(sin

5π

6

cosA-cos

5π

6

sinA)=

1

2

sinAcosA-

3

2

sin2A，（9分）
即

1

4

sin2A-

3

4

(1-cos2A)=

1

4

sin2A+

3

4

cos2A-

3

4

=

1

4

，（11分）
所以

1

2

sin2A+

3

2

cos2A=

1+ 3

2

，
故sin(2A+

π

3

)=

1+ 3

2

．（13分）

点评：此题考查了等比数列的性质，正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，熟练掌握公式及定理，依据公式定理进行准确灵活变形是解本题的关键．