Question

某乡农民年均收入服从μ=5 000元，σ=200元的正态分布.

(1)写出此乡农民年均收入的概率密度曲度函数式；

(2)求此乡农民年均收入在5 000元～5 200元间的人数的百分比；

(3)如果要使此乡农民的年均收入在(μ-a,μ+a)内的概率不小于0.95，则a至少为多大?

Answer 1

解析：设X表示此乡农民的年均收入，由已知X～N(5 000，200²).

(1)f(x)=,

X∈(-∞，+∞)，

(2)P(5 000＜X＜5 200)

=Φ()-Φ()

=Φ(1)-Φ(0)=0.3 413.

这说明此乡农民平均收入在5 000元—5 200元间的人数约为34%.

(3)令P(μ-a＜X＜μ+a)=Φ()-Φ(-)≥0.95，

则有Φ()-≥0.95,

∴Φ()≥0.975.

∵Φ(x)是增函数，故查表得()≥1.96,

a≥392.

所以，要使此乡农民的年均收入在(μ-a,μ+a)内的概率不小于0.95，则a不能小于392.