Question

已知f（x）=2cos²x+sin2x+a （a∈R，a为常数）
（Ⅰ） 若x∈R，求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ） 若x∈[0，]时，f（x）的最大值为4，并求此时f（x）的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）=2cos²x+sin2x+a
=cos2x+sin2x+a+1
=2 sin（2x+）+a+1，
∴f（x）的单调增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z．…（6分）
（Ⅱ）∵x∈[0，]时，f（x）的最大值为4
∴≤2x+=u≤
∴f（x）在[]单调递增，在（]单调递减
∴f（x）_max=2+a+1=4，
∴a=1．…（9分）
故：当2x+=，即时，
f（x）_min=2×（）+1+1=1…（12分）
分析：（1）利用降幂公式cos²x=和辅助角公式可将f（x）=2cos²x+sin2x+a 转化为f（x）=2 sin（2x+）+a+1再类比正弦函数的单调性可得不等式2kπ-≤2x≤2kπ，k∈z的解集即为f（x）的单调增区间．
（2）可将2x看做一个整体u然后判断出f（x）在u的范围上的单调性求出f（x）的最大值再根据f（x）的最大值为4可求出a进而求出最小值．
点评：本题主要考察了函数y=Asin（wx+∅）+k的单调性，属中等难度的试题．解题的关键是牢记函数y=Asin（wx+∅）+k的单调区间的求解和在某一区间上单调性的判断！