Question

在钝角△ABC中，已知AB=

2

，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积是（　　）

• A．

  6 +2

  4

• B．

  6 ±2

  4

• C．

  3 -1

  4

• D．

  3 ±1

  4

Answer 1

分析：在钝角△ABC中，有正弦定理求得 sinC，再由 b边不是最大边可得AB或BC为最大边，求出角 C，根据三角形的内角和公式求出A，由此求得△ABC的面积

1

2

×AB×ACsinA 的值．

解答：解：在钝角△ABC中，有正弦定理可得

AB

sinC

=

AC

sinB

，即

2

sinC

=

1

sin30°

，求得 sinC=

2

2

．
再由 b边不是最大边可得AB为最大边，或者BC为最大边．
若AB为最大边，则 C=135°，∴A=15°，∴sin15°=

1-cos30° 2

=

6 - 2

4

．
∴△ABC的面积是

1

2

×AB×ACsinA=

1

2

×

2

×1×

6 - 2

4

=

3 -1

4

，
若BC为最大边，则C=45°，A=105°，
sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°=

6 + 2

4

，
∴△ABC的面积是

1

2

×AB×ACsinA=

1

2

×

2

×1×

6 + 2

4

=

3 -1

4

．
故选D．

点评：本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，以及大边对大角，属于中档题．