Question

（本小题满分14分）已知函数（）的图象为曲线．

（Ⅰ）求曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围；

（Ⅱ）若曲线上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线的切点的横坐标的取值范围；

（Ⅲ）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2)  (3) 不存在一条直线与曲线C同时切于两点

【解析】

试题分析：解：（Ⅰ），则，

即曲线上任意一点处的切线的斜率的取值范围是；------------3分

（Ⅱ）由（1）可知，---------------------------------------------------------5分

解得或，由或

得：；-------------------------------7分

（Ⅲ）设存在过点A的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B，

，

则切线方程是：，

化简得：，

而过B的切线方程是，

由于两切线是同一直线，

则有：，得，----------------------11分

又由，

即

，即

即，

得，但当时，由得，这与矛盾。

所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点.     ---------------14分

考点：本试题考查了导数几何意义的运用。

点评：对于切线方程的求解主要抓住两点：第一是切点，第二就是切点出的切线的斜率。然后结合点斜式方程来得到。以及利用函数的思想求解斜率的范围，或者确定方程的解即为切线的条数问题。