题目内容

15．求函数f（x）=3x-x3的单调性，并求出单调区间．

分析 求出函数的导数，令导数大于0，得增区间；令导数小于0，得减区间．

解答 解：函数f（x）=3x-x3的导数为f′（x）=3-3x2，
由f′（x）＞0，解得-1＜x＜1；
由f′（x）＜0，解得x＞1或x＜-1．
则f（x）在（-1，1）上为增函数，在（-∞，-1），（1，+∞）上为减函数．
即有增区间为（-1，1），减区间为（-∞，-1），（1，+∞）．

点评 本题考查函数的单调性及单调区间，主要考查运用导数判断单调性和求单调区间，属于基础题．

练习册系列答案
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5．在北方某城市随机选取一年内100天的空气污染指数（API）的监测数据，统计结果如下：
 API[0，50]（50，100]（100，150]（150，200]（200，250]（250，300]（300，+∞）
 天数  413183091115
（Ⅰ）已知污染指数API大于300为重度污染，若本次抽取样本数据有34天是在供暖季，其中有9天为重度污染，完成下面的2×2列联表，问有多大把握认为该城市空气重度污染与供暖有关？
非重度污染重度污染合计
供暖季
非供暖季
合计 100
（Ⅱ）某企业由空气污染造成的经济损失S（单位：元）与空气污染指数API（记为ω）的关系式为：S=$\left\{\begin{array}{l}{0，0≤ω≤100}\\{400，100＜ω≤300}\\{2000，ω＞300}\end{array}\right.$．试估计该企业一个月（30天）内造成的经济损失S的期望
附注：k2=$\frac{n（d-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，n=a+b+c+d
P（K2≥k）0.250.150.100.050.0250.010.0050.001
k1.3232.0722.7063.8415.0256.6357.87910.828
6．已知y=f（x）+3x2的图象关于原点对称，若f（2）=3，函数g（x）=f（x）-3x，则g（-2）的值是（　　）
A．12B．-12C．-21D．-27
3．设函数f（x）=ex-ax-1．
（Ⅰ）若函数f（x）在R上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）当a＞0时，设函数f（x）的最小值为g（a），求证：g（a）≤0；
（Ⅲ）求证：对任意的正整数n，都有（$\frac{1}{n+1}$）n+1+（$\frac{2}{n+1}$）n+1+（$\frac{3}{n+1}$）n+1+…+（$\frac{n}{n+1}$）n+1＜1．
10．在△ABC中，若|AB|=1，|AC|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，则其形状为③，$\frac{{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}}{{|{\overrightarrow{BC}}|}}$=$\frac{1}{2}$（①锐角三角形 ②钝角三角形  ③直角三角形，在横线上填上序号）．
20．在平面直角坐标系xOy中，以坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．
（1）求直线l和曲线C的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的距离的最值．
7．过点C（0，p）的直线与抛物线x2=2py（p＞0）相交于A，B两点，若点N是点C关于坐标原点的对称点，则△ANB面积的最小值为（　　）
A．2$\sqrt{2}$pB．$\sqrt{2}$pC．2$\sqrt{2}$p2D．$\sqrt{2}$p2
4．已知f（x）是定义在R上的偶函数．其导函数为f′（x），若f（x）+xf′（x）＜0，且f（x+1）=f（3-x），f（2015）=2，则不等式xf（x）＜2的解集为（　　）
A．（-∞，2015）B．（2015，+∞）C．（-∞，0）D．（1，+∞）
5．函数f（x）=ex+x（x∈R）可表示为奇函数h（x）与偶函数g（x）的和，则g（0）=1．

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