Question

（12分）定义在上的函数，，当时，.且对任意的有。

（1）证明：；

（2）证明：对任意的，恒有；

（3）证明：是上的增函数；

（4）若，求的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（1）令即可证明（2）分证明即可

（3）利用单调性定义即可证明（4）

【解析】

试题分析：（1）证明：令，，又，

所以.                                                                      ……2分

（2）证明：由已知当时，，由（1）得，

故当时，成立,

当时， ，所以，

而，所以,

可得

综上：对任意的，恒有成立.                                             ……6分

（3）证明：设，则，

而，，

即，是上增函数得证。                                              ……10分

(4)由，可得，

又因为是上增函数，所以，解得，

所以：所求的取值范围.                                                     ……12分

考点：本小题主要考查抽象函数的求值，单调性，抽象不等式的求解.

点评：求解抽象函数问题，主要的方法是赋值法，证明抽象函数的单调性只能用定义，证明时要尽量化简到最简单.