Question

（06年山东卷文）（12分）

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为l.

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)直线过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程.

Answer 1

解析：设椭圆方程为

（Ⅰ）由已知得

∴所求椭圆方程为       .

（Ⅱ）解法一：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为

由，消去y得关于x的方程：

由直线与椭圆相交于A、B两点，

解得，又由韦达定理得

            

原点到直线的距离

.

解法1：对两边平方整理得：

（*）

∵，，整理得：

、又， ，从而的最大值为，

此时代入方程（*）得 

所以，所求直线方程为：.

解法2：令，则

，当且仅当即时，

，此时.

所以，所求直线方程为

解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零.

设直线l的方程为，

则直线l与x轴的交点，

由解法一知且，

解法1：=

       .

下同解法一.

解法2：

下同解法一.