题目内容
如图所示，在直三棱柱
中，
，D为AC的中点．
(Ⅰ)求证：
(Ⅱ)若
，求证：
；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下， AB=1，求三棱锥B-A1C1D的体积．
解：(Ⅰ) 连结AB1交A1B于E，连ED．
∵ABC-A1B1C1是直三棱柱中，且AB=BBl，
∴侧面ABB1A1是一正方形．
∵E是AB1的中点．又已知D为AC的中点．
∴在△AB1C中，ED是中位线．
∴B1C//ED．
∴B1C∥平面A1BD．
(Ⅱ) ∵ AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B．
又∵侧面ABB1A1是一正方形，∴A1B⊥AB1．
∴A1B⊥平面AB1C1．∴A1B⊥B1C1．
又∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥B1C1．
∴BlCl⊥平面ABB1A1
(Ⅲ) ∵AB=BC，D为AC的中点，
∴BD⊥AC．∴BD⊥平面DC1A1．
∴BD就是三棱锥B-A1C1D的高．
由(Ⅱ)知BlCl⊥平面ABBlAl，∴BC⊥平面ABBlAl．
∴BC⊥AB．∴△ABC是直角等腰三角形．
又∵AB=BC=1 ∴BD=
． ∴AC=A1C1=
∴三棱锥B-A1C1D的体积
练习册系列答案
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