Question

（Ⅰ）已知函数.数列满足：，且,记数列的前项和为，且.求数列的通项公式；并判断是否仍为数列中的项？若是，请证明；否则，说明理由.

（Ⅱ）设为首项是,公差的等差数列，求证：“数列中任意不同两项之和仍为数列中的项”的充要条件是“存在整数，使”.

Answer 1

同下

解析:

（Ⅰ）因为，

所以，即，

，即.     ……………………………………（4分）

因为，

当时，，

当时，，

所以.                    …………………………（6分）

又因为，

所以令，则

得到与矛盾，所以不在数列中.    ………（8分）

（Ⅱ）充分性：若存在整数，使.

设为数列中不同的两项，则

.

又且,所以.

即是数列的第项.                ……………………（11分）

必要性：若数列中任意不同两项之和仍为数列中的项，

则，，（，为互不相同的正整数）

则，令，

得到 ，

所以，令整数，所以.　     ……（14 分）

下证整数

若设整数则.令，

由题设取使 

即，所以

即与相矛盾，所以.

综上, 数列中任意不同两项之和仍为数列中的项的充要条件是存在整数，使.                                              ……………………（16分）