Question

（2013•辽宁一模）已知函数f（x）=-x³+mx在（0，1）上是增函数
（1）求实数m的取值集合A．
（2）当m取值集合A．中的最小值时，定义数列{a_n}；满足a₁=3，且a_n＞0，an+1=

-3f′(an)+9

，求数列{a_n}的通项公式
（3）若b_n=na_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＞

3

4

．

Answer 1

分析：（1）先求出导数f′（x），再由条件得f′（x）=-3x²+m≥0在（0，1）上恒成立，分离出m后再求出m的范围；
（2）由（1）求出m的值，代入f′（x）后，再代入an+1=

-3f′(an)+9

进行化简得到

an+1

an

=3，结论即得到证明；
（3）根据（2）求出b_n，再由通项公式的特点，利用错位相减法求出S_n，由表达式就可以证明结论．

解答：解：（1）由题意得f′（x）=-3x²+m，
∵f（x）=-x³+mx在（0，1）上是增函数，
∴f′（x）=-3x²+m≥0在（0，1）上恒成立，
即m≥3x²，得m≥3，
故所求的集合A为[3，+∞）；
（2）由（1）得，m=3，∴f′（x）=-3x²+3，
∵an+1=

-3f′(an)+9

，a_n＞0，
∴an+1=

9an2

=3a_n，即

an+1

an

=3，
∴数列{a_n}是以3为首项和公比的等比数列，
故a_n=3ⁿ；
（3）由（2）得，b_n=na_n=n•3ⁿ，
∴S_n=1•3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ        ①
3S_n=1•3²+2•3³+3•3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹      ②
①-②得，-2S_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=

3(1-3n)

1-3

-n•3ⁿ⁺¹
化简得，S_n=

3

4

+

(2n-1)•3n

4

＞

3

4

．

点评：本题是有关函数和数列的综合题，考查了函数单调性与导数关系，等比数列的定义应用，以及错位相减法求出S_n，考查了分析问题和解决问题的能力．