Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为

2

2

，且椭圆上的点到F的最大距离为

2

+1．
（I）求椭圆方程；
（II）如图，过F作与x轴不重合的直线l交椭圆于A，B两点，直线BO交椭圆于另一点C，求|AB|+|AC|的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知

e= c a = 2 2 a+c= 2 +1

，及b²=a²-c²，解出即可；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的方程为my=x+1，与椭圆的方程联立可得根与系数，设AB的中点为M（x₀，y₀），则|AC|=2|MO|，
利用两点间的距离公式和弦长公式可得|AC|+|AB|关于m的函数，利用导数研究其单调性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由题意知

e= c a = 2 2 a+c= 2 +1

，
解得：a=

2

，c=1，∴b=1．
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的方程为my=x+1，
由 

my=x+1 x2 2 +y2=1

 得(m2+2)y2-2my-1=0，
∴y1+y2=

2m

m2+2

 ， y1y2=-

1

m2+2

．
设AB的中点为M（x₀，y₀），则|AC|=2|MO|，
∵y0=

y1+y2

2

=

m

m2+2

， x0=(my0-1)=-

2

m2+2

，
∴|AC|=2

x02+y02

=

2 m2+4

m2+2

，|AB|=|y1-y2|

1+m2

=

2 2 (1+m2)

m2+2

，
∴|AB|+|AC|=

2 2 (1+m2)

m2+2

+

2 m2+4

m2+2

=

2 2 (1+m2)+2 m2+4

m2+2

，
令f(m)=

2 2 (1+m2)

m2+2

+

2 m2+4

m2+2

=

2 2 (1+m2)+2 m2+4

m2+2

，
则f′(m)=

2m(2 2 m2+4 -m2-6)

(m2+2) m2+4

=

-2m( m2+4 - 2 )2

(m2+2) m2+4

，
∴当m＞0，f'（m）＜0；当m＜0，f'（m）＞0，
即f（m）在（-∞，0）上递增，在（0，+∞）上递递减．
∴f（m）在m=0处取得最大值．
∴f(m)＜f(0)=2+

2

．
又f(m)=

2 2 (1+m2)+2 m2+4

m2+2

=2

2

+

2 m2+4 -2 2

m2+2

＞2

2

，
∴f(m)∈(2

2

，2+

2

)．
即|AB|+|AC|的取值范围是(2

2

，2+

2

)．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、两点间的距离公式、利用导数研究函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题．