Question

在△ABC中，给出如下命题：
①若，则△ABC为锐角三角形；
②O是△ABC所在平面内一定点，且满足，则O是△ABC的垂心；
③O是△ABC所在平面内一定点，动点P满足，则动点P一定过△ABC的重心；
④O是△ABC内一定点，且，则；
⑤若，且，则△ABC为等腰直角三角形．
其中正确的命题为    （将所有正确命题的序号都填上）．

Answer 1

【答案】分析：①由数量积可以判断三角形的内角关系．②将向量进行化简，得到向量垂直关系．③将向量进行化简，得到向量共线关系．④将向量进行化简，得到向量共线关系，根据共线关系确定，O为重心．⑤利用平面向量的数量积公式，可推出向量垂直，进而判断三角形的边角关系．
解答：解：①若，则得出角A为锐角，但无法判断B，C都是锐角，所以①错误．
②由，得，即，所以．同理可知，所以O是△ABC的垂心，所以②正确．
③由动点P满足，
得，即P的轨迹是直线AD，而AE是△ABC的中线，
因此P的轨迹（即直线AD）过△ABC的重心．所以③正确．
④由，得在三角形ABC中，E是边BC的中点，则，即O是三角形ABC的重心，所以，所以，所以④正确．
⑤由，可知角A的角平分线垂直于BC，所以AB=AC．由，可得，解得
A=，所以△ABC为等边三角形，所以⑤错误．所以正确的命题为②③④．
故答案为：②③④．
点评：本题主要考查平面向量数量积的应用，在做的过程中要利用数形结合的数学思想．