Question

【题目】已知函数.

（1）证明：当时，函数在上是单调函数；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】 (1)见解析;(2) .

【解析】试题分析：

（1）由题意得，再令，利用导数可得在取得最小值，且，于是，从而得到在上是单调递增函数．（2）由题意分离参数可得当时，恒成立．令，利用导数可得到当时，取得最小值，且，从而可得，即为所求的范围．

试题解析：

（1）∵，

∴，

令，

则，

则当时，，单调递减；

当时，，单调递增．

∴函数在取得最小值，且最小值为，

∴在上恒成立，

∴在上是单调递增函数．

（2）由题意得当时，恒成立，

∴当时，恒成立．

令，

则，

令，

则.

∴时，单调递增，

∴，即．

∴当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

∴当时，取得最小值，且，

∴．

故实数的取值范围为.