Question

【题目】在平面直角坐标系内，已知点，圆的方程为，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.

（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；

（2）过点能否作一条直线，与点的轨迹交于两点，且点为线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）能，.

【解析】

（1）由题意，.由椭圆的定义可得的轨迹方程；

（2）当直线的斜率不存在时，不符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入的轨迹方程. 设点，由点为线段的中点，可得，可求，即求直线的方程.

（1）连接，由题意，.

又点在圆内，.

根据椭圆的定义，点的轨迹是以为焦点，4为实轴长的椭圆.

其中，，，

所以的轨迹方程为.

（2）易知当直线的斜率不存在时，不符合题意.

设经过点的直线的方程为，即

把代入轨迹方程，

得

设点，则，解得

此时方程为，方程根的判别式为，所以方程有实数解.

所以直线的方程为.