题目内容

设P为椭圆 $数学公式$ 上任意一点，O为坐标原点，F为椭圆的左焦点，点M满足 $数学公式$ ，则 $数学公式$ =________．

2
分析：先由点M满足 $\text{[math]}$ ，得出M为FP中点，然后根据c²=a²-b²，求出c的值即可．
解答：令椭圆的右焦点为F₂，以OP、OF为邻边作平行四边形OPAF．
由平行四边形法则，有： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
而点M满足 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∴M是OA的中点．
∵OPAF是平行四边形，
∴OA、PF互相平分，又M是OA的中点，
∴M是PF的中点，
∴MF= $\text{[math]}$ PF．
显然，由椭圆方程可知：原点O是椭圆的中心，
∴O是FF₂的中点．
∵M、O分别是PF、FF₂的中点，
∴OM是△PFF₂的中位线，
∴OM= $\text{[math]}$ PF₂．
由MF= $\text{[math]}$ PF、OM=OM= $\text{[math]}$ PF₂，
得：OM+MF= $\text{[math]}$ （PF+PF₂）
由椭圆定义，有：PF+PF2=2a=2×2=4，
∴OM+MF=2．
∴ $\text{[math]}$ =OM+MF=2．
故答案为：2
点评：本题考查了椭圆的性质，得出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 是解题的关键，属于基础题．