题目内容
已知-π＜x＜0，sinx+cosx=
，求下列各式的值．
（1）sinx-cosx；
（2）3sin2x-2sinxcosx+cos2x．
| 1 | 5 |
（1）sinx-cosx；
（2）3sin2x-2sinxcosx+cos2x．
分析：（1）由-π＜x＜0结合条件可知x是第四象限角，从而sinx＜0，cosx＞0，由此可知sinx-cosx＜0．再利用平方关系式求解（sinx-cosx）2=（sinx+cosx）2-4sinxcosx）即可求得答案．
（2）利用条件及（1）的结论得到tanx的表达式，再利用sin2x+cos2x=1，在表达式的分母增加“1”，然后分子、分母同除cos2x，得到tanx的表达式，即可求出结果．
（2）利用条件及（1）的结论得到tanx的表达式，再利用sin2x+cos2x=1，在表达式的分母增加“1”，然后分子、分母同除cos2x，得到tanx的表达式，即可求出结果．
解答：解：（1）∵sinx+cosx=
，∴x不可能是第三象限角，
∴-
＜x＜0，∴sinx＜0，cosx＞0，则sinx-cosx＜0，
又sinx+cosx=
，平方后得到 1+sin2x=
，
∴sin2x=-
∴（sinx-cosx ）2=1-sin2x=
，
又∵sinx-cosx＜0，
∴sinx-cosx=-
．
（2）由于sinx+cosx=
及sinx-cosx=-
．
得：sinx=-
，cosx=
．
∴tanx=-
，
∴3sin2x-2sinxcosx+cos2x=
=
=
．
| 1 |
| 5 |
∴-
| π |
| 2 |
又sinx+cosx=
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 25 |
∴sin2x=-
| 24 |
| 25 |
| 49 |
| 25 |
又∵sinx-cosx＜0，
∴sinx-cosx=-
| 7 |
| 5 |
（2）由于sinx+cosx=
| 1 |
| 5 |
| 7 |
| 5 |
得：sinx=-
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴tanx=-
| 3 |
| 4 |
∴3sin2x-2sinxcosx+cos2x=
| 3sin2x-2sinxcosx+cos2x |
| sin2x+cos2x |
=
| 3tan2x-2tanx+1 |
| tanx+1 |
| 67 |
| 25 |
点评：本题利用公式（sinx-cosx）2=（sinx+cosx）2-4sinxcosx．求解时需要开方，一定要注意正负号的取法，注意角x的范围！本题是基础题，考查三角函数的表达式求值的应用，考查计算能力，注意“1”的代换，以及解题的策略．
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