Question

已知函数f(x)=x2+2mx+m2-

1

2

m-

3

2

，当x∈（0，+∞）时，恒有f（x）＞0，求m的取值范围．

Answer 1

分析：由于对称轴不固定，所以须分轴在区间左边和轴在区间内两种情况来讨论．

解答：解：f(x)=(x+m)2-

1

2

m-

3

2

  对称轴为 x=-m，
当-m≤0即m≥0时，f(0)≥0?m2-

1

2

m-

3

2

≥0∴m≥

3

2

；
当-m＞0即m＜0时，-

1

2

m-

3

2

＞0∴m＜-3．
综上得：m＜-3或m≥

3

2

．

点评：本题的实质是求二次函数的最值问题，关于解析式系数带参数的二次函数在固定闭区间上的最值问题，一般是根据对称轴和闭区间的位置关系来进行分类讨论，如轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间，最后在综合归纳得出所需结论．