Question

设函数f（x）=lnx+x²-2ax+a²，a∈R．
（I）若a=0，求函数f（x）在[1，e]上的最小值；
（II）若函数f（x）在[

1

2

，2]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；
（III）求函数f（x）的极值点．

Answer 1

分析：（I）把a=0代入f（x），对其进行求导，利用导数研究其最值问题；
（II）对f（x）进行求导，将其转化为在区间[

1

2

，2]上存在于区间使得不等式g（x）＞0恒成立，根据抛物线的性质可以看出，图象开口向上，利用根与系数的关系进行求解；
（III）对f（x）进行求解，可以设出h（x）=2x²-2ax+1，对a进行讨论：a≤0或a＞0两种情况，利用导数研究函数的极值问题；

解答：解：（I）当a=0时，函数f（x）=lnx+x²的定义域为（0，+∞），f′（x）=

1

x

+2x＞0，
∴f（x）在[1，e]上是增函数，
当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=1，∴f（x）在[1，e]上的最小值为1；
（II）f′（x）=

1

x

+2x-2a=

2x2-2ax+1

x

，设g（x）=2x²-2ax+1
由题意知，在区间[

1

2

，2]上存在于区间使得不等式g（x）＞0恒成立，
由于抛物线g（x）=2x²-2ax+1开口向上，
∴只要g（2）＞0，或g（

1

2

）＞0即可，
由g（2）＞0，即8-4a+1＞0，∴a＜

9

4

，由g（

1

2

）＞0，即

1

2

-a+1＞0，∴a＜

3

2

，
∴a＜

9

4

，即实数a的取值范围（-∞，

9

4

）
（III）∵f′（x）=

2x2-2ax+1

x

，设h（x）=2x²-2ax+1，
①显然，当a≤0时，在（0，+∞）上h（x）＞0恒成立，
这时f′（x）＞0此时f（x）没有极值点；
②当a＞0时，
当x＜

a- a2-2

2

或x＞

a+ a2-2

2

时，h（x）＞0，这时f′（x）＞0，
∴当a＞

2

时，x=

a- a2-2

2

是函数f（x）的极大值点；
x=

a+ a2-2

2

是函数f（x）的极小值点，
综上，当a≤

2

时，函数f（x）没有极值点；
当a＞

2

时，x=

a- a2-2

2

是函数f（x）的极大值点；
x=

a+ a2-2

2

是函数f（x）的极小值点；

点评：此题主要考查利用导数研究求闭区间上的最值问题，此题综合性比较强，这类题型是高考的热点问题，解的过程中我们用到了分类讨论和转化的思想，是一道中档题；