Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，a=

7

，b+c=7，且4sin²A=1+cosA．
（1）求cosA的值；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用同角三角函数的基本关系可知sin²A=1-cos²A=（1+cosA）（1-cosA），代入到题设等式中整理求得cosA的值．
（2）利用余弦定理和b+c的值求得bc的值，最后利用三角形面积公式求得三角形的面积．

解答：解：（1）由4sin²A=1+cosA和sin²A=1-cos²A=（1+cosA）（1-cosA），
得4（1+cosA）（1-cosA）=1+cosA，
因为0＜A＜π，0＜1+cosA＜2，约去1+cosA得4（1-cosA）=1，cosA=

3

4

．
（2）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得a²=（b+c）²-2bc-2bccosA，
即7=49-2bc-2bc×

3

4

，
解得bc=12，
所以△ABC的面积S=

1

2

bc×sinA=

3 7

2

．

点评：本题主要考查了余弦定理的应用和同角三角函数的基本关系的应用．试题核心是解三角形，因此除已知条件外，还有“双基”条件--三角形内角和定理、正弦定理和余弦定理．解题关键是建立并求解方程组，其中用到三角函数性质、三角恒等变换和整体代入等．