Question

18．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n-3•2ⁿ+4（n∈N^*）
（1）求证：数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}为等差数列；
（2）设T_n为数列{S_n-4}的前n项和，求T_n；
（3）设c_n=$\frac{（3n+5）{2}^{n-1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，数列{c_n}的前n项和为Q_n，求证：Q_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）通过S_n=2a_n-3•2ⁿ+4与S_n+1=2a_n+1-3•2ⁿ⁺¹+4作差、整理可知a_n+1=2a_n+3•2ⁿ，将等式两边同时除以2ⁿ⁺¹可知$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+$\frac{3}{2}$，进而可知数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1为首项、$\frac{3}{2}$为公差的等差数列；
（2）通过（1）可知$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{3n-1}{2}$，从而a_n=（3n-1）•2^n-1，利用S_n=2a_n-3•2ⁿ+4化简可知S_n-4=3n•2ⁿ-2ⁿ⁺²，利用错位相减法可知Q_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹，进而计算可得结论；
（3）通过a_n=（3n-1）•2^n-1代入化简可知c_n=$\frac{3n+5}{（3n-1）（3n+2）•{2}^{n}}$，利用（3n-1）²+10＞0变形可知$\frac{3n+5}{（3n-1）（3n+2）}$＜$\frac{1}{2}$，进而可知c_n＜$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，利用等比数列的求和公式计算、放缩即得结论．

解答 （1）证明：∵S_n=2a_n-3•2ⁿ+4，
∴S_n+1=2a_n+1-3•2ⁿ⁺¹+4，
两式相减得：a_n+1=2a_n+1-2a_n-3•2ⁿ，
整理得：a_n+1=2a_n+3•2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+$\frac{3}{2}$，
又∵a₁=2a₁-3•2+4，即a₁=2，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以1为首项、$\frac{3}{2}$为公差的等差数列；
（2）解：由（1）可知$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+$\frac{3}{2}$（n-1）=$\frac{3n-1}{2}$，
∴a_n=$\frac{3n-1}{2}$•2ⁿ=（3n-1）•2^n-1，
∴S_n=2a_n-3•2ⁿ+4
=（3n-1）•2ⁿ-3•2ⁿ+4
=3n•2ⁿ-2ⁿ⁺²+4，
∴S_n-4=3n•2ⁿ-2ⁿ⁺²，
记Q_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ，
2Q_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
两式相减得：-Q_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹
=-（2-2ⁿ⁺¹）-n•2ⁿ⁺¹，
∴Q_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=3Q_n-$\frac{{2}^{3}（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=6+3（n-1）•2ⁿ⁺¹+2³-2ⁿ⁺³
=14+（3n-7）•2ⁿ⁺¹；
（3）证明：由（2）可知a_n=（3n-1）•2^n-1，
∴c_n=$\frac{（3n+5）{2}^{n-1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$
=$\frac{（3n+5）•{2}^{n-1}}{（3n-1）（3n+2）•{2}^{n-1}•{2}^{n}}$
=$\frac{3n+5}{（3n-1）（3n+2）•{2}^{n}}$，
又∵（3n-1）²+10＞0，
∴9n²-6n+11＞0，
∴2（3n+5）＜9n²+3n-2=（3n-1）（3n+2），
∴$\frac{3n+5}{（3n-1）（3n+2）}$＜$\frac{1}{2}$，
∴c_n=$\frac{3n+5}{（3n-1）（3n+2）•{2}^{n}}$＜$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴Q_n＜$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{{2}^{2}}$•$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{1}{2}$•（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$）
＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．