Question

f(x)=

-x2+ax， x≤1 ax-1，  x＞1

若?x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）成立，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

由题意得，即在定义域内，f（x）不是单调的．
分情况讨论：
（1）若x≤1时，f（x）=-x²+ax不是单调的，
即对称轴在x=

a

2

满足

a

2

＜1，
解得：a＜2
（2）x≤1时，f（x）是单调的，
此时a≥2，f（x）为单调递增．
最大值为f（1）=a-1
故当x＞1时，f（x）=ax-1为单调递增，最小值为f（1）=a-1，
因此f（x）在R上单调增，不符条件．
综合得：a＜2
故实数a的取值范围是（-∞，2）
故答案为：（-∞，2）