Question

已知函数f(x)=

x2-(a-1)x+3

x-a

（x≠a，a为非零的常数）
（1）解不等式f（x）＜x
（2）如果a=1，且x＞1，求f（x）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）＜x，得

x2-(a-1)x+3

x-a

＜x，化为

x+3

x-a

＜0，得（x+3）（x-a）＜0．对a与-3的关系讨论即可得出；
（2）如果a=1，则f(x)=

x2+3

x-1

当x＞1时，f(x)=

(x2-1)+4

x-1

=(x-1)+

4

x-1

+2利用基本不等式即可得出．

解答：解：（1）由f（x）＜x，得

x2-(a-1)x+3

x-a

＜x，
化为

x+3

x-a

＜0，得（x+3）（x-a）＜0．
（i）当a＜-3时，原不等式的解集为（a，-3）
（ii）当a=-3时，原不等式的解集为φ；
（iii）当a＞-3时，原不等式的解集为（-3，a）．
（2）如果a=1，则f(x)=

x2+3

x-1

当x＞1时，f(x)=

(x2-1)+4

x-1

=(x-1)+

4

x-1

+2

∵x-1＞0，  4 x-1 ＞0 ∴f(x)≥2 (x-1)• 4 x-1 +2=6

当且仅当x-1=

4

x-1

时，即x=3时取等号
故当a=1且x＞1时，f（x）的取值范围是[6，+∞）．

点评：熟练掌握分式不等式等价转化为整式不等式、一元二次不等式的解法、分类讨论思想方法、基本不等式的性质等是解题的关键．