Question

【题目】已知函数y=f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠2}，且y=f（x+2）是偶函数，当x＜2时，f（x）=|2x﹣1|，那么当x＞2时，函数f（x）的递减区间是（ ）
A.（3，5）
B.（3，+∞）
C.（2，+∞）
D.（2，4]

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵y=f（x+2）是偶函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2），

则函数f（x）关于x=2对称，

则f（x）=f（4﹣x）．

若x＞2，则4﹣x＜2，

∵当x＜2时，f（x）=|2x﹣1|，

∴当x＞2时，f（x）=f（4﹣x）=|24﹣x﹣1|，

则当x≥4时，4﹣x≤0，24﹣x﹣1≤0，

此时f（x）=|24﹣x﹣1|=1﹣24﹣x=1﹣16 ，此时函数递增，

当2＜x≤4时，4﹣x＞0，24﹣x﹣1＞0，

此时f（x）=|24﹣x﹣1|=24﹣x﹣1=16 ﹣1，此时函数递减，

所以函数的递减区间为（2，4]，

所以答案是：D．

【考点精析】通过灵活运用函数奇偶性的性质和奇偶性与单调性的综合，掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇；奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性即可以解答此题．