Question

如图，已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，侧棱BB₁⊥底面ABCD，E是侧棱CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）求证：AC∥平面B₁DE．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先证AC⊥BD与BB₁⊥AC，再证AC⊥平面BDD₁B₁
（Ⅱ）设AC，BD交于点O，取B₁D的中点F，连接OF，EF，先证OF∥CC₁与OF=CC₁，再证OC∥EF，再证AC∥平面B₁DE．

解答：证明：（Ⅰ）因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
因为BB₁⊥底面ABCD，
所以BB₁⊥AC，（3分）
所以AC⊥平面BDD₁B₁．（5分）
（Ⅱ）设AC，BD交于点O，取B₁D的中点F，连接OF，EF，
则OF∥BB₁，且OF=

1

2

BB1，
又E是侧棱CC₁的中点，EC=

1

2

CC1，BB₁∥CC₁，BB₁=CC₁，
所以OF∥CC₁，且OF=

1

2

CC1，（7分）
所以四边形OCEF为平行四边形，OC∥EF，（9分）
又AC∥平面B₁DE，EF∥平面B₁DE，（11分）
所以AC∥平面B₁DE．（13分）

点评：证明线面垂直的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直，在证明时要充分利用平面几何的知识，以达到通过平面内的垂直关系证明空间中的垂直关系的目的．