Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，AB⊥AC，且AA₁=AB=AC，则异面直线AB₁与BC₁所成角为

π

2

．

Answer 1

分析：连结A₁B，根据直棱柱的性质与AB⊥AC，证出A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，从而得到A₁C₁⊥AB₁．由AA₁=AB得到四边形AA₁B₁B为正方形，可得A₁B⊥AB₁，利用线面垂直判定定理得到AB₁⊥平面A₁BC₁，可得AB₁⊥BC₁，进而得到异面直线AB₁与BC₁所成角为

π

2

．

解答：解：连结A₁B，
∵AA₁⊥面ABC，平面A₁B₁C₁∥面ABC，
∴AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
∵A₁C₁?平面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥A₁C₁，
∵△ABC与△A₁B₁C₁是全等三角形，AB⊥AC，
∴A₁B₁⊥A₁C₁，
∵A₁B₁∩AA₁=A₁，∴A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，
又∵AB₁?平面AA₁B₁B，∴A₁C₁⊥AB₁，
∵矩形AA₁B₁B中，AA₁=AB，
∴四边形AA₁B₁B为正方形，可得A₁B⊥AB₁，
∵A₁B∩A₁C₁=A₁，∴AB₁⊥平面A₁BC₁，
结合BC₁?平面A₁BC₁，可得AB₁⊥BC₁，即异面直线AB₁与BC₁所成角为

π

2

．
故答案为：

π

2

点评：本题在特殊的直三棱柱中求异面直线所成角的大小，着重考查了直棱柱的性质、正方形的对角线互相垂直、线面垂直的定义与判定定理等知识，属于中档题．