Question

若复数z满足|z++i|≤1，求：

（1）|z|的最大值和最小值；

（2）|z-1|²+|z+1|²的最大值和最小值；

（3）|z-|²+|z-2i|²的最大值和最小值.

Answer 1

解：（1）如下图所示,||=，?

∴|z|_Max=2+1=3,|z|_Min=2-1=1.?

（2）|z-1|²+|z+1|²=2|z|²+2,?

∴|z-1|²+|z+1|²的最大值为20，最小值为4.?

（3）如下图，在圆面上任取一点P，与复数z₁=，z₂=2i的对应点A、B相连，得向量、，再以、为邻边作平行四边形将问题再次转化为（1）的类型.?

设z_a=，z_b=2i，P为圆面上任一点，z_P=z.?

则2||²+2||²=||²+(2||）²=7+4||²，?

∴|z-|²+|z-2i|²=（7+4|z--i|²）.?

而|z--i|_Max=|O′M|+1=1+，|z--i|_Min=|O′M|-1=-1,?

∴|z-|²+|z-2i|²的最大值为27+2，最小值为27-2.

点评：利用复数模的几何意义，将问题转化为平行四边形的两边的平方和与对角线的平方和的关系.