题目内容
1．
某地为了改善居民的居住环境，争创国家卫生城市，在市民意见网站发布一项调查，每个住户在调研所居住的环境卫生后进行自主打分，最高分是10分．上个月该网站共有100个住户进行了打分，所有住户打分的平均分作为居民对该城市卫生现状满意度的参考分值，将这些打分结果分成以下几组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第三、四、五组的频率；
（2）该网站在打分结果较高的第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6个住户．
①已知甲住户和乙住户均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率；
②政府决定在这6个住户中随机抽取2个作具体了解，设第四组中有X个住户被选中，求X的分布列和数学期望．
分析 （1）由频率分布直方图能求出第三、四、五组的频率．
（2）①该网站在打分结果较高的第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6个住户，第三组抽3人，由第三组共有100×0.3=30个住户，甲住户和乙住户均在第三组，能求出甲、乙同时被选中的概率．
②第四组中有X个住户被选中，由题意得X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
解答 解：（1）由频率分布直方图得第三组的频率为：0.150×2=0.3，
第四组的频率为：0.1×2=0.2，
第五组的频率为：0.05×2=0.1．
（2）①该网站在打分结果较高的第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6个住户，
则第三组抽：6×$\frac{0.3}{0.3+0.2+0.1}$=3人，
第四组抽：6×$\frac{0.2}{0.3+0.2+0.1}$=2人，
第五组抽：6×$\frac{0.1}{0.3+0.2+0.1}$=1人，
∵第三组共有100×0.3=30个住户，甲住户和乙住户均在第三组，
∴甲、乙同时被选中的概率p=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{28}^{1}}{{C}_{30}^{3}}$=$\frac{1}{145}$．
②第四组中有X个住户被选中，由题意得X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{1}+{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{6}{15}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$．
∴X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 |
| P | $\frac{6}{15}$ | $\frac{8}{15}$ | $\frac{1}{15}$ |
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．
在△ABC中，AB=4，AC=4$\sqrt{2}$，∠BAC=45°，以AC的中线BD为折痕，将△ABD沿BD折起，如图所示，构成二面角A′-BD-C，在面BCD内作CE⊥CD，且$CE=\sqrt{2}$． 
如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，PA⊥平面ABCD，且PA=1，E，F分别是BC，PA的中点．
小明到他父亲的木工房，看到一个棱长为50cm的立方体工件（如图），从立方体的前后、左右、上下看，都有且仅有两个相通的正方形孔，请你算一算，这个立方体剩下的体积是多少？