题目内容
已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A是锐角，且sin
cos
=
，
•
=8．
（1）求bc的值；（2）求a的最小值．
| A |
| 2 |
| A |
| 2 |
| 3 |
| 10 |
| AB |
| AC |
（1）求bc的值；（2）求a的最小值．
分析：（1）利用二倍角的正弦函数公式化简sin
cos
=
，得到sinA的值，由A为锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，由
•
=8及cosA的值，利用平面向量的数量积的运算法则即可求出bc的值；
（2）由余弦定理表示出a2，把第一问求出的bc的值及cosA的值代入，利用基本不等式即可求出a的最小值．
| A |
| 2 |
| A |
| 2 |
| 3 |
| 10 |
| AB |
| AC |
（2）由余弦定理表示出a2，把第一问求出的bc的值及cosA的值代入，利用基本不等式即可求出a的最小值．
解答：解：（1）由sin
cos
=
，可得sinA=
，
因为A是锐角，所以cosA=
，（3分）
∵
•
=8，即
•
=bc•cosA=8，
∴bc=10；（6分）
（2）由bc=10，cosA=
，
根据余弦定理可得：
a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-16≥2bc-16=4，当且仅当b=c=
时取等号．
所以a的最小值为2．（12分）
| A |
| 2 |
| A |
| 2 |
| 3 |
| 10 |
| 3 |
| 5 |
因为A是锐角，所以cosA=
| 4 |
| 5 |
∵
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
∴bc=10；（6分）
（2）由bc=10，cosA=
| 4 |
| 5 |
根据余弦定理可得：
a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-16≥2bc-16=4，当且仅当b=c=
| 10 |
所以a的最小值为2．（12分）
点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，余弦定理，平面向量的数量积运算法则以及基本基本不等式的应用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．
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