Question

已知函数f(x)=

ln(ax)

x+1

-ln(ax)+ln(x+1)，（a≠0，a∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a＞0时，若存在x使得f（x）≥ln（2a）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由题意可得

a＞0 ax＞0 x+1＞0

对a 情况讨论解不等式可求．
（II）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（III）由条件：“存在x使得f（x）≥ln（2a）成立令h（x）=1+x-2ln（1+x）”，由（II）知，这时只需只须f(

1

a

)≥ln(2a)，可以得出a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当a＞0时，由

a＞0 ax＞0 x+1＞0

得x＞0；当a＜0时由

a＜0 ax＞0 x+1＞0

得-1＜x＜0
综上：当a＞0时函数f（x）的定义域为（0，+∞）；
当a＜0时函数f（x）的定义域为（-1，0）（3分）
（Ⅱ）f′(x)=

x+1 x -ln(ax)

(x+1)2

-

1

x

+

1

x+1

=

(x+1)-xln(ax)-(x+1)2+x(x+1)

x(x+1)2

=

-ln(ax)

(x+1)2

（5分）
令f'（x）=0时，得lnax=0，即x=

1

a

，
①当a＞0时，x∈(0，

1

a

)时f'（x）＞0，当x∈(

1

a

，+∞)时，f'（x）＜0，
故当a＞0时，函数的递增区间为(0，

1

a

)，递减区间为(

1

a

，+∞)
②当-1≤a＜0时，-1＜ax＜0，所以f'（x）＞0，
故当-1≤a＜0时，f（x）在x∈（-1，0）上单调递增．
③当a＜-1时，若x∈(-1，

1

a

)，f'（x）＜0；若x∈(

1

a

，0)，f'（x）＞0，
故当a＜-1时，f（x）的单调递增区间为(

1

a

，0)；单调递减区间为(-1，

1

a

)．
综上：当a＞0时，f（x）的单调递增区间为(0，

1

a

)；单调递减区间为(

1

a

，+∞)
当-1≤a＜0时，f（x）的单调递增区间为（-1，0）；
当a＜-1时，f（x）的单调递增区间为(

1

a

，0)；单调递减区间为(-1，

1

a

)；（10分）
（Ⅲ）因为当a＞0时，函数的递增区间为(0，

1

a

)；单调递减区间为(

1

a

，+∞)
若存在x使得f（x）≥ln（2a）成立，只须f(

1

a

)≥ln(2a)，
即ln(

a+1

a

)≤ln2a?

a+1

a

≥2a?

a＞0 - 1 2 ≤a≤1

?0＜a≤1（14分）

点评：本小题主要考查函数单调性的应用、对数函数的定义域、对数函数图象与性质的综合应用等知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．解答的关键是会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．