Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上有两点P和Q．P、Q在X轴上射影分别是椭圆的左右焦点F₁，F₂且P、Q连线斜率为

2

2

．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若以PQ为直径的圆与直线x+y+6=0相切，求椭圆C方程．

Answer 1

分析：（1）先设出P、Q两点的坐标，利用P、Q在x轴上的射影分别为椭圆的左、右焦点，且P、Q两点的连线的斜率为

2

2

．即可求椭圆的离心率e的大小；
（2）先求出以PQ为直径的圆的方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出b值即可求椭圆C的标准方程

解答：解：（1）设点（-c，-y₀），Q（c，y₀），其中y₀＞0，
∵点P在椭圆C上，∴

c2

a2

+

y02

b2

=1，y02=

b4

a2

，∴y0=±

b2

a

∴P(-c，-

b2

a

)，Q(c，

b2

a

)，∴kPQ=

2 b2 a

2c

=

b2

ac

．∴

b2

ac

=

2

2

，

2

(a2-c2)=ac
从而

2

(1-e2)=e，解得e=

2

2

，e=-

2

（舍去）．
（2）由（1）知，a=

2

b，c=b，∴P(-b，-

b

2

)
∴以PQ为直径的圆的方程为x2+y2=

3

2

b2．
∵该圆与直线x+y+6=0相切，∴

6

2

=

6

2

b，即b=2

3

，∴b²=12，a²=24
∴椭圆的标准方程为

x2

24

+

y2

12

=1．

点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的关系，主要考查是圆与椭圆知识的综合．当直线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距离等于半径求解，也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解．