Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且点P_n（S_n，a_n）（n∈N^*）总在直线x-3y-1=0上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n为数列{

1

an

}的前n项和，若对?n∈N^*总有Tn＞

1-m

2

成立，其中m∈N^*，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）先利用点P_n（S_n，a_n）（n∈N^*）总在直线x-3y-1=0上求出S_n=3a_n+1；再根据已知前n项和求通项公式的方法即可数列{a_n}的通项公式；
（2）先利用上面的结论求出数列{

1

an

}的通项公式，再代入数列的求和公式求出T_n，进而求出其最大值（或其最大值的临界值）；最后再与

1-m

2

比较即可求出结论．

解答：解：（1）∵点P_n（S_n，a_n）（n∈N^*）总在直线x-3y-1=0上．
∴S_n=3a_n+1
当n=1时，a₁=3a₁+1，∴a1=-

1

2

当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3a_n-3a_n-12an=3an-1?

an

an-1

=

3

2

（n≥2）
即数列{a_n}是首项a1=-

1

2

，公比q=

3

2

的等比数列
∴an=a1qn-1=-

1

2

×(

3

2

)n-1．
（2）∵an=-

1

2

×(

3

2

)n-1，
∴

1

an

=-2×(

2

3

)n-1
∴Tn=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=-2[1+(

2

3

)+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n-1]
=-2×

[1-( 2 3 )n]

1- 2 3

=-6×[1-(

2

3

)n]＞-6
∵对?n∈N^*总有Tn＞

1-m

2

成立
∴必须并且只需

1-m

2

≤-6即m≥13．
∴m的最小值为13．

点评：本题主要考查数列的综合知识以及数列与不等式相结合问题．解决第二问的关键在于把“对?n∈N^*总有Tn＞

1-m

2

成立'转化为求T_n的最大值（或其最大值的临界值）问题．