Question

若数列{a_n}满足a₁=

1

2

，a₁+a₂+…+a_n=n²a_n，则数列{a_n}的前60项和为

60

61

．

Answer 1

分析：根据n≥2时a_n=S_n-S_n-1，算出（n²-1）a_n=（n-1）²a_n-1，得到

an

an-1

=

n-1

n+1

．用累乘的方法算出当n≥2时，a_n=

1

n(n+1)

，且n=1时也符合条件．由此可得{a_n}的前n项和为和为S_n的表达式，从而得到{a_n}的前60项和的值．

解答：解：∵数列{a_n}的前n项的和S_n=a₁+a₂+…+a_n，∴S_n=n²a_n，
当n≥2时，S_n-1=（n-1）²a_n-1，两式相减得a_n=n²a_n-（n-1）²a_n-1，
即（n²-1）a_n=（n-1）²a_n-1，故

an

an-1

=

n-1

n+1

，
∴

an

a1

=

a2

a1

×

a3

a2

×

a4

a3

×…×

an

an-1

=

1

3

×

2

4

×…×

n-2

n

×

n-1

n+1

=

2

n(n+1)

结合a₁=

1

2

，可得a_n=

1

n(n+1)

当n=1时，也满足上式，故a_n=

1

n(n+1)

对任意n∈N₊成立，
可得a_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
因此，数列数列{a_n}的前n项和为S_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
∴{a_n}的前60项和为

60

61

故答案为：

60

61

点评：本题给出数列{a_n}的前项和S_n与a_n的表达式，求{a_n}的前60项和．着重考查了等差数列的通项公式、数列前n项和S_n与a_n的关系等知识，属于中档题．